ιδιοτιμες ιδιοδιανυσματα

Home
μαθηματα Online
(ΝΕΟ)MATHS YOUTUBE VIDEOS
DVD-VIDEO ON DEMAND
Ανοικτο Πανεπιστημιο
Tutoring for International colleges and Universities
Ιnternational Baccalaureate DP IB
κατατακτηριες εξετασεις
Γιατι Online μαθηματα
EPSO exams
distance learning
κατατακτηριες ν. 2005
Μηχ.Παρ.Διοικ.. Κρητης
ποιοι ειμαστε
ΛΥΚΕΙΟ-ΕΠΑΡΧΙΑ
Οδηγιες για εξετασεις
Μαθ/τα ΤΟΠΑ, Δημ. Διοικηση
κουιζ για ΕΑΠ
Ολοκληρωματα δυσκολα
Φυσικο Αθηνας
Ο ιδανικος καθηγητης
νεο quizgame
παραγωγος διαν. συναρτησης
διπλα ολοκληρωματα
συναρτηση δυναμικου
μηκος καμπυλης
παραγωγος συναρτησης
Ασκηση σε ομοιομ. συνεχεια
ασκησεις παραγωγων
ασκ. αναλυσης1
ασκ. αναλυσης2
κυρτα κοιλα
εξωτερικο γινομενο
ασκησεις γραμμικης αλγεβρας
εξισωσεις frenet
πολλ/τες Lagrange
ασκηση Taylor
γενικευμενος τυπος TAYLOR
επιφανειακα ολοκληρωματα
ακροτατα πολλων μεταβλητων
θεωρημα Peano lindeloff
γραμμικες ΔΕ ανωτερης ταξης
διαφορικες εξισωσεις Clairaut
Θεηρημα Rolle θεωρημα μεσης τιμης
ακροτατα πανω σε καμπυλη
διμεταβλητη κανονικη κατανομη
μετασχηματισμος Laplace
θεωρημα προσεγγισης
Πινακας μετ/μου Laplace
κανονικο διανυσμα επιφανειας
Διαφορικες εξισωσεις Bernoulli
ασκηση αναλυσης
διαγωνισιμες απεικονισεις
ασκησεις στις πιθανοτητες
Gram Schmidt
μεγεθη-προγραμμα εαπ πληροφοριες
ασκηση μεγιστου ελαχιστου
χι-τετραγωνο test
ισομετριες
θεμα ΕΜΠ μηχανικη
Υπαρξη λυσεων δε 1ης ταξης
γραμμικοι τελεστες
ακτινικες δυναμεις
ακριβεις διαφορικες εξισωσεις
γραμμικος προγραμματισμος
ορισμος διαφορικων εξισωσεων
δεσμευμενη πιθανοτητα
ασκηση αλγεβρας
τυπος Taylor
μειωση ταξης ομογενους ΔΕ
κανονας l hospital
ομοιομορφη συνεχεια
μη ομογενεις γραμμικες ΔΕ αν.ταξης
εμβαδο επιφανειας στο χωρο
πολλαπλασιαστης Euler
μερικες παραγωγοι
αποκλιση στροβιλισμος div curl
συγκλιση ακολουθιων σε ευκ. χωρο
διαφορικη εξισωση Euler n ταξης
τριπλα ολοκληρωματα
ομογενεις ΓΔΕ αν. ταξης
παραμ/κη εξισ. ευθειας επιπεδου
ορια θ. ισοσυγκλισης
θεωρημα Stokes
διπλα ολοκληρωματα
θωρημα green ασκηση
ασκηση στα ορια
μεθοδος προσδ/τεων συντελεστων
θ. αποκλισης σε επιπεδοι-χωρο
παραγωγος κατα κατευθυνση
εφ/νο επιπεδο επιφανειας
εσωτερικο γινομενο
Λυση γραμμικης ΔΕ ν ταξης
ΔΕ χωριζομενων μεταβλητων
γραμμικες διαφορικες εξ.
εξισωσεις Lagrange
ομογενεις διαφορικες εξισωσεις
ασκησεις πιθανοτητες
ακριβεις διαφορικές εξισωσεις
μεθοδος συντελ. Lagrange
Picard προσεγγισεις
ΔΕ αναγ/νες σε ομογενεις
επικαμπυλιο ολοκληρωμα
αρμονικη σειρα
εξισωσεις frenet
σειρες fourier βασικες εννοιες
ιδιοτιμες ιδιοδιανυσματα
θεωρημα green
θεωρημα ολ. πιθανοτητας
ασκηση ελαχ. πολυωνυμο
πολλαπλος anova
ΔΕ Riccatti
ΔΕ Εuler
Ομογενεις ΔΕ 2ης ταξης
Συνελιξη
Ρητα ολοκληρωματα
ακτινα καμπυλοτητας
Υπολογισμος ιδιοτιμων

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ

Έστω

διανυσματικός χώρος και $A:V\rightarrow V$ ο πίνακας μιας γραμμικής απεικόνισης. Ένα στοιχείο

του

λέγεται ιδιοδιάνυσμα του

αν υπάρχει αριθμός $\lambda$ τέτοιος ώστε $Av=\lambda v$ . Aν το $v\neq 0$ τότε το $\lambda$ είναι μοναδικό και λέγεται ιδιοτιμή του

που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα

Aν $A=\left(\begin{array}{ccc} a_1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \ldots & a_n \end{array}\right)$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας τότε κάθε διάνυσμα $e_i=\left(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ a_i\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , $i=1,\ldots,n$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του με .

Θεώρημα Έστω

διανυσματικός χώρος και $A:V\rightarrow V$ ο πίνακας μιας γραμμικής απεικόνισης. Έστω $\lambda \in K$ και V(λ) ο υπόχωρος του

που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα του

που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή $\lambda$ . Tότε κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του V(λ) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του

με ιδιοτιμή $\lambda$ . Λέμε οτι ο V(λ) είναι ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$ .

Θεώρημα Έστω

ένας διανυσματικός χώρος και A ο πίνακας μιας γραμμικής απεικόνισης. Έστω $v_1,\ldots ,v_m$ ιδιοδιανύσματα της

με ιδιοτιμές $\lambda _1,\ldots ,\lambda _m$ αντίστοιχα. Αν οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες, δηλαδή $\lambda _i\neq\lambda _j$ όταν $i\neq j$ τότε τα $v_1,\ldots ,v_m$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του

Έστω f: V→V μια γραμμική απεικόνιση. Αν $\{v_1,\ldots, v_n\}$ είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου

λέμε ότι η βάση αυτή διαγωνοποιεί την f αν κάθε

είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f. Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας της f ως προς αυτή την βάση έχει τη μορφή

$\begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cccc} c_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & c_2 &... ...ts & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & c_n \end{array}\right)\end{displaymath}$

όπου

είναι οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα

. Λέμε ότι η γραμμική απεικόνιση f διαγωνοποιείται αν υπάρχει βάση του χώρου

που να αποτελείται από ιδιοδιανύσματα.

Θεώρημα Έστω

ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και $\lambda$ ένας αριθμός. Αν f: V→V μια γραμμική απεικόνιση τότε ο $\lambda$ είναι ιδιοτιμή της f αν και μόνο αν ο πίνακας $A-\lambda I$ δεν είναι αντιστρέψιμος.

Ορισμός 3 Aν

είναι ένας $n\times n$ πίνακας, ορίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

να είναι η ορίζουσα

$\begin{displaymath}p_A(t)=Det(tI-A)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}p_A(t)=\left\vert\begin{array}{cccc} t-a_{11} & -a_{12} & \ld... ... -a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & t-a_{nn} \end{array}\right\vert.\end{displaymath}$

Θεώρημα Έστω

ένας $n\times n$ πίνακας. Ένας αριθμός $\lambda$ είναι μια ιδιοτιμή του

αν και μόνο αν το $\lambda$ είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Θεώρημα Aν

είναι ένας $n\times n$ πίνακας με μιγαδικά στοιχεία. Τότε ο

έχει ένα τουλάχιστον μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα και τουλάχιστον μια μιγαδική ιδιοτιμή.

Θεώρημα Oμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Θεώρημα Cayley - Hamilton Mιά γραμμική απεικόνιση f: V→V μηδενίζει το χαρακτηριστικό της πολυώνυμο.

Ορισμός Έστω ένα πολυώνυμο

που μηδενίζεται από την απεικόνιση $A:V\rightarrow V$ και έχει πρώτο συντελεστή την μονάδα. Αν κάθε άλλο πολυώνυμο που μηδενίζεται από την

έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του

τότε το

λέγεται ελάχιστο πολυώνυμο της

Θεώρημα Tο ελάχιστο πολυώνυμο μιας γραμμικής απεικόνισης είναι μονοσήμαντα ορισμένο και διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της απεικόνισης.

Σημείωση Tο χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο μιας γραμμικής απεικόνισης έχουν τις ίδιες ρίζες.

Διάκριση φροντιστήρια ΑΕΙ

For Lessons Online or Offline, call

κινητό 6943760606( Greek)

mob. 07554134801 (UK)

or send mail to vmpak@yahoo.gr and we will be in touch with you within 24 hours.

Web design/Content: Internet Team

© all rights reserved
Last modified: June 16, 2012

Διάκριση φροντιστήρια ΑΕΙ For Lessons Online or Offline, call κινητό 6943760606( Greek) mob. 07554134801 (UK) or send mail to vmpak@yahoo.gr and we will be in touch with you within 24 hours. Web design/Content: Internet Team

© all rights reserved Last modified: June 16, 2012

Διάκριση φροντιστήρια ΑΕΙ

For Lessons Online or Offline, call

κινητό 6943760606( Greek)

mob. 07554134801 (UK)

or send mail to vmpak@yahoo.gr and we will be in touch with you within 24 hours.

Web design/Content: Internet Team

© all rights reserved
Last modified: June 16, 2012